• <menu id="c8meo"><u id="c8meo"></u></menu>
    <input id="c8meo"><tt id="c8meo"></tt></input>
  • <input id="c8meo"><tt id="c8meo"></tt></input>
    <menu id="c8meo"><u id="c8meo"></u></menu>
    <nav id="c8meo"></nav>
    <input id="c8meo"></input><menu id="c8meo"><u id="c8meo"></u></menu>
    <menu id="c8meo"></menu><input id="c8meo"></input><menu id="c8meo"><u id="c8meo"></u></menu>
    <input id="c8meo"></input>
    <menu id="c8meo"><acronym id="c8meo"></acronym></menu>
  • <menu id="c8meo"></menu>
  • <nav id="c8meo"></nav>
  • <menu id="c8meo"><u id="c8meo"></u></menu>
  • <input id="c8meo"></input>
    <menu id="c8meo"></menu>

    卡特兰数(Catalan Number)

     

    卡特兰数又称卡塔兰数2477203708名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。该数在计算机专业中比较重要,有一些具体的应用实例。这篇文章主要分三部分:

    1. 卡特兰数递归式的含义解释
    2. 卡特兰数表达式的证明过程
    3. 卡特兰数的计算机中的应用

    Catalan Number递归式解释

    假设h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:

    h(n)=h(0)?h(n?1)+h(1)?h(n?2)+h(2)?h(n?3)+...+h(n?1)?h(0)(1.1)(1.1)h(n)=h(0)?h(n?1)+h(1)?h(n?2)+h(2)?h(n?3)+...+h(n?1)?h(0)

    递归式背后有什么物理含义呢,这里以出栈序列问题进行说明:

     

    问题描述:一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

    含义解释:首先,我们设h(n)h(n)=序列个数为n的出栈序列种数。(我们假定,最后出栈的元素为k,显然,k取不同值时的情况是相互独立的,也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则,由于k最后出栈,因此,在k入栈之前,比k小的值均出栈,此处情况有h(k?1)h(k?1)种,而之后比k大的值入栈,且都在k之前出栈,因此有h(n?k)h(n?k)种方式,由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的,此处可用乘法原则,h(n?k)?h(k?1)h(n?k)?h(k?1)种,求和便是Catalan递归式。

    Catalan Number表达式证明

    第n个卡特兰数h(n)表达式如下

    h(n)=Cn2nn+1=Cn2n?Cn?12n(1.2)(1.2)h(n)=C2nnn+1=C2nn?C2nn?1

    具体证明过程如下

    为了便于编程实现,需要进一步推导h(n)与h(n-1)之间的关系

    已知h(n)h(n),易知

    h(n?1)=Cn?12n?2nh(n?1)=C2n?2n?1n

    推导 h(n)h(n)的Cn2nC2nn和h(n?1)h(n?1)的Cn?12n?2C2n?2n?1之间的关系,由kCkn=nCk?1n?1kCnk=nCn?1k?1知
    n?Cn2nCn2nCn2nCn2nCn2nn+1h(n)=2nCn?12n?1=2Cn?12n?1=2(2n?1)Cn?12n?2n=2(2n?1)h(n?1)=2(2n?1)n+1h(n?1)=2(2n?1)n+1h(n?1)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)n?C2nn=2nC2n?1n?1(2)C2nn=2C2n?1n?1(3)C2nn=2(2n?1)C2n?2n?1n(4)C2nn=2(2n?1)h(n?1)(5)C2nnn+1=2(2n?1)n+1h(n?1)(6)h(n)=2(2n?1)n+1h(n?1)

    最终得到h(n)h(n)和h(n?1)h(n?1)之间的递归式h(n)=2(2n?1)n+1h(n?1)h(n)=2(2n?1)n+1h(n?1)

     

    Catalan Number应用实例

    括号匹配问题

    问题描述: 矩阵连乘 P=A1A2...AnP=A1A2...An,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,问有几种括号化的方案?

    问题转换一下就是n对括号的正确匹配方案,可以做一下LeetCode-22

    出栈次序问题

    问题描述: 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

    出栈问题问题正是卡特兰数递归式h(n)=h(0)h(n?1)+h(1)h(n?2)+...+h(n?1)h(0)h(n)=h(0)h(n?1)+h(1)h(n?2)+...+h(n?1)h(0)的由来

    相关应用问题

    1. 有2n个人排成一行进入剧场,入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

    2. n个1和n个0组成一个2n位的二进制数,要求从左到右扫描,0的累计数不小于1的累计数,求满足条件的的数。

    3. 12个人排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

      我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排。对问题进行转化:用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,并且任意前缀中0的个数大于等于1的个数就对应一种方案,转化后的问题就是问题2了。

    4. 给定节点组成二叉树的问题:给定n个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?

      先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至n-1个相对应的,右边是n-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)?h(n?1)+h(2)?h(n?2)+...+h(n?1)h(0)=h(n)h(0)?h(n?1)+h(2)?h(n?2)+...+h(n?1)h(0)=h(n)能构成h(n)h(n)个,因此二叉树问题也可以解释卡特兰数递归式(1.1)式的由来

    5. n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法?

      要从左下角走到右上角则必须向上走n步,向右n步,同时为了不跨过主对角线,则走过的步数中向上走的步数必须大于等于向右走的步数,剖析之后发现这个问题与问题3是等价问题,走法有卡特兰数h(n)h(n)种。

      可以做一下下面两题练练手:

      hdoj2067-小兔的棋盘

      LeetCode62-Unique Paths

    6. n个+1和n个-1构成的2n项序列,其部分和总满足:a1+a2+...+an>=0a1+a2+...+an>=0的序列的个数。

      卡特兰数表达式(1.2)式就是以该问题模型为基础推导出来的

    7. 分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片分享图片
    相关文章
    相关标签/搜索
    四肖中特期期準王中王资料大全枓大全app下载-王中王资料大全枓大全开奖手机版